Ja, fangen wir an mit einem Beamer. Der zweite hat sich verabschiedet oder die Steuerung hat

sich verabschiedet. Da hilft auch das Informatical Heilmittel aus dem Auto aussteigen und wieder

einsteigen nicht. Gut, okay, ja. Bevor ich es vergesse, ich letzte mal habe ich es vergessen,

gehen wir noch mal zur Vorlesung vor zwei Terminen zurück. Da ist ja eine Frage aufgeworfen

worden, ach so, hier sind wir im völlig falschen Kapitel, eine Frage aufgeworfen worden, ob

das so stimmt, was ich gesagt habe, die auch erst mal berechtigt erschien, diese Frage.

Ich habe das dann auch angeschaut, ich habe gesagt, na vielleicht steht da ein Druckfehler,

vielleicht können Sie sich noch erinnern, was ich da meine. Das war im Zusammenhang des

CG-Verfahrens und da in dem Zusammenhang mit der Frage, wie zeigt man da die Konvergenzordnung.

Vielleicht schauen wir mal nochmal an diese Stelle hin, die Antwort ist, will diese, will

da die Antwort nicht schuldig bleiben. Das war in diesem Kontext, wir hatten allgemein

gesehen, dass in der Energienorm sich der Fehler der Karten iteriert und sich abschätzen

lässt durch einen Faktor, mal den Eingangsfehler und dieser Faktor wird gegeben durch ein Liebiges

Polynomkartengrades, was an der Stelle 0 gleich 1 ist und durch die Maximumsnorm gebildet,

durch Auswertung dieses Polynoms an den Eigenwerten. Das kann man jetzt dadurch etwas abschwächen,

dass man sagt, okay, wir schauen uns, wir schätzen nach oben durch das Maximumsnorm

vom Intervall ab, wobei dieses Intervall möglichst gut die Eigenwerte umfassen sollte, das heißt

also die untere Schranke ist der kleinste, wir reden ja von positiven Eigenwerten, die

obere Schranke der größte Eigenwert und dann haben wir versucht, da dieses Polynom zu

finden, also es taugt jetzt sozusagen eine Minimierungsaufgabe in der Maximumsnorm auf

dem Raum der Polynome hier auf, das heißt also die Frage ist, gibt es denn so, wie sehen

denn die Polynome aus, die diese Maximumsnorm minimieren, die sozusagen den Abstand zum

Nullpolynom auf dem Raum der Polynome, auf diesem affinen Raum der Polynome da minimieren

und das kann man nun explizit angeben mit den sogenannten Chebyshev-Polynomen, da hatten

wir diese beiden, diese drei Darstellungen sozusagen, erstmal die rekreusive Definition,

das ist ja irgendwie ist das nicht, ist auch irgendwie ein bisschen dunkel das Ganze, das

nächste Mal ist er bestimmt ganz kaputt, diese rekreusive Definition der Chebyshev-Polynome,

wenn man erstmal sieht, es ist wirklich Polynome, das Chebyshev-Polynomen hat Grad k, man kann

sich überlegen, da muss man, das habe ich Ihnen vorgerechnet, es ist aber relativ einfach

zu machen, dass sie sich in dem Intervall bei minus eins eins auch so über die Cosinus-Funktion

darstellen lassen, das einzige was man machen muss, zu zeigen, dass die so definierten Funktionen

eben dieser Rekursionsbeziehung erfüllen und da muss man halt die trigonometrischen

Identitäten zum Einsatz bringen, also das ist ein relativ direkter Beweis und schließlich

die dritte Identität war die Frage, war diese Identität hier, wo dieser Ausdruck hier,

diese beiden Ausdrücke auftauchen, die offensichtlich eben Wurzeln einer quadratischen Gleichung

sind und dann wurde eingeworfen, naja, die können ja durchaus auch komplex sein diese

Wurzeln.

Jetzt schauen wir mal an, wo wir das brauchen, da habe ich vielleicht einen falschen Zungenschlag

reingebracht, was wir dann machen ist zweierlei, das eine ist, wir normieren diese Chebyshev-Polynome

erst einmal so, dass das Intervall AB, für das wir uns interessieren, dem Intervall minus

eins eins entspricht, wo wir also dann insbesondere diese Betragsabschätzung dann einsetzen können

und dann, was passiert noch, an der Stelle Null normieren wir auf dem Wert eins, um eben

ein Polynom zu haben, wie wir es da in der Konkurrenz, in der Fehlerabschätzung wollen.

Das ist die eine Geschichte.

Dann geht es aber dann weiter, ja, dann nehmen wir also dieses Polynom her, setzen es ein,

wir wissen, das Polynom an der Variable ist betragsmäßig kleiner als eins und dann bleibt

nur dieser Normierungsfaktor über.

Und alles weitere ging es darum, dieses eins durch Chebyshev-Polynom an dieser Zahl hier,

diese Zahl ist kappa plus eins durch kappa minus eins, wobei kappa die spektrale Konditionszahl

ist, also gerade der Quotient aus dem B und dem A, dem größten und dem kleinsten Eigenwert,